高三文科解析几何练习题一

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高三文科数学解析几何练习题（一）

姓名 班级

、选择题（每小题有且仅有一个结论正确） l 的方程是

）

座号

1. 已知直线 l 过圆 x2＋（y－3）2＝4 的圆心，且与直线 x＋y＋1＝0 垂直，则

x＋y－ 2＝0 B．x－y＝2＝0 C． x＋ y－ 3＝0 D．x－y＋3＝0

x＋ y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 2． 已知圆 x＋ y＋ 2x－ 2y＋ a＝0

）

a ．－ 2 B．－ 4 C ． 的 值是（ 截直线 A

22

P（－ 3，－ 1）的直线 l 与圆 x＋ y＝1 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范 3． 过点

2

2

围是 （

A. 0，6

π

B. 0，3

π

C. 0， 6 D. 0， 3

A．

4．已知圆 C：（x－3）2＋ （y－ 4）2＝1 和两点 A（－ m， 0）， B（m， 0）（m> 0）．若圆 C 上存在 点 P，使得∠ APB＝90°，则 m 的最大值为 （ ）

A ． 7 B．6 C．5 D．4

x＋y－7≤0，

5. 已知圆 C：（x－ a） ＋（y－b） ＝1，平面区域 Ω： x－y＋3≥0，若圆心

C∈Ω，且圆 C y≥0.

与 x 轴相切，则 a2＋b2 的最大值为 （ ） A．5 B．29

C．37

D．49

6．若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝（ ） A．21 B．19 C．9 D．－ 11

22

7、设点 M（x0，1），若在圆 O：x＋y＝1 上存在点 N，使得∠ OMN＝45°，则 x0 的取 值范围是 （ ）

A. [－1，1] B.

－1，1

22

C. [－ 2， 2] D. － 2，

2

2

2

8、设 m∈ R，过定点 A 的动直线 x＋ my＝ 0和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于 点 P（x，y），则 |PA|＋ |PB|的取值范围是 （ ）

A．[ 5， 2 5 ] B．[ 10， 2 5 ] C．[ 10，4 5 ] D．[2 5，4 5 ]

2x

2y

3

9、已知椭圆 C： xa2＋by2＝1（a> b>0）的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2的直 线 l 交 C 于 A，B 两点．若△ AF1B 的周长为 4 3 ， 则 C 的方程为 （ ）

2 2 2 2 2 2 2

x y x 2 x y x y xyx2

A、3＋ 2＝ 1 B、3＋y＝1

22

C、12＋ 8＝ 1 D、12＋4＝1

xyxy

10、设 F 1， F2分别为双曲线 xa2－yb2＝1（a>0，b> 0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P

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使得 （|PF1|－|PF2|）2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为 （ ）

A. 2 B. 15 C． 4 D. 17

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二、填空题：

22

11、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆（x－2）＋（y＋1）＝4 截得的弦长 为 ．

12、直线 l1和 l2是圆 x2＋y2＝2的两条切线．若 l1与 l2的交点为 （1， 3），则 l1与 l2的夹 角的正切值等于 ． 13、圆心在直线 x－2y＝0上的圆 C与y轴的正半轴相切， 圆 C截x轴所得弦的长为 2 3， 则圆 C 的标准方程为 _．

14、已知直线 x y a 0与圆心为 C的圆 x2 y2 2x 4y 4 0相交于 A，B 两 点，且 AC BC ，则实数 a的值为 ___ .

22

15、已知椭圆 C：9＋＝1，点 M 与 C的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分 别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |AN|＋ |BN|＝ ．

三、解答题：

22

x

y

4

16、如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， F 1， F2分别是椭圆 x2＋y2＝1（a>b>0）的左、

ab 右焦点，顶点 B的坐标为 （0，b），连接 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A作 x轴的垂线交椭 圆于另一点 C，连接 F1C. （1）若点 C的坐标为 3， ，且 BF2＝ 2，求椭圆的方程；

（2）若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值．

4

13

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2

2

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17、已知椭圆 C：x＋2y＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O为原点，若点 A 在 直线 y＝ 2上，点 B在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB长度的最小值．

18、如图所示，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区．规

划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界以 M 为圆心 (M 在线段 OA 上)，并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m．经测量，点 A位于

4 点 O

正北方向 60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸 )， tan∠BCO＝3.

3

(1) 求新桥 BC 的长． 当 OM 多(2)

长时

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19、圆 x2＋y2＝4 的切线与 x轴正半轴、 y轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时，切点为 P(如图 1-5所示 )． (1)求点 P 的坐标；

(2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：y＝ x＋ 3交 于 A，B 两点，若△ PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程．

20、已知椭圆 C：xa2＋yb2＝1(a> b> 0)的左焦点为 F (－ 2， 0)，离心率为 36. (1)求椭圆 C的标准方程； (2)设O 为坐标原点， T为直线 x＝－ 3上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P， Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积．

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高三文科数学解析几何练习题(一)参考答案

一、选择题 1-5： D B D B C 6-10： C ABA D

2 4 2 2

二、 11、7.5 55 12、3 13、(x－2)2＋(y－1)2＝4 14、0或 6

15、12

22

三、16、如图 1-5 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆 x2＋y2＝1(a>b>0) ab 的左、右焦点，顶点 B的坐标为 (0， b)，连接 BF 2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x轴的垂 线交椭圆于另一点 C，连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为

41

3，3 ， 且 BF2 ＝ 2，求椭圆的方程；

(2)若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值． 17． 解： 设椭圆的焦距为 2c, 则 F1(－c, 0), F2(c, 0)．

22

(1)因为 B(0, b), 所以 BF2＝ b＋c＝a.又 BF 2＝ 2，

16 1

故 a＝ 2.因为点 C 43， 13 在椭圆上，所以 a92＋ b92＝1，

2

解得 b2＝1.故所求椭圆的方程为 x2＋y2＝ 1. (2)因为 B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上， 所以直线 AB 的方程为 xc＋ yb＝1.

2 2 2

＋＝1，

x1

解方程组 cb ＝

c

x

y

b

2a2c 22 a b( c － a )

22

22

y2＝b，

x2＝0，y＝b，

得 22 xy

2a cb(c－a)

y所以点 A 的坐标为 a2＋c2，a2＋c2 . a ＋c a ＋ c

又 AC 垂直于 x 轴，可得点 C 的坐标为 22， 2 2 .

a ＋ c a ＋c

22－c) b( a

2222－0 － c) b(a＋c a

23

，直线 AB 的斜率为－ 因为直线 23a c＋ c F1C 的斜率为 2ac b

， 22－－ c) a＋c

2

－ c) b( a

23

所以且 F1C⊥ AB， 3a c＋ c

5

2

22 2

2a c

－c ＝ 1.又 b2＝ a2－ c2，整理得 a2＝5c2，

b

5

17、已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率；

(2)设 O为原点，若点 A在直线 y＝2上，点 B在椭圆 C 上，且 OA⊥OB， 求线段 AB 长度的最小值．

22

2故 e＝1，

因此 e＝ 5.

19．解： (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 4＋＝1.

x

y2

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所以 a＝4，b＝2，从而 c＝ a－ b＝ 2. 因此 a＝2，c＝ 2. 故椭圆 C 的离心率 e＝ ＝ .

a2

（2）设点 A，B 的坐标分别为 （t，2），（x0， y0）， 其中 x0≠0. 因为 OA⊥ OB，所以 O→A·O→B＝0， 即 tx0＋2y0＝0，解得 t＝－ 2y

x0 .

2

2

2又 x0

c

2

22222

＋2y20＝ 4，

2

2y0x

x0＋所以 |AB|＝（x0－t）＋（y0－2）＝

＋ （y0－2）＝x0＋ y0＋

x0 x0

222

4y0x2

＋ 4

4－ x0 2（ 4－ x0） x0 8 2 202

2 ＝x0＋ 2 ＋ ＋4＝ 2＋x2＋4 （0x0

2 x0 2 x0

2

222

因为 x0＋ 82≥4（02 x0

故线段 AB 长度的最小值为 2 2.

18、如图 1-6 所示，为保护河上古桥 OA ，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区． 规 划要求： 新桥 BC 与河岸 AB 垂直； 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆， 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m．经测量， 点 A 位于点 O 正北方

4

向 60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处（OC 为河岸 ），tan∠BCO＝3.

3

（1）求新桥 BC 的长． （2）当 OM 多长时，圆形保护

方法一： （1）如图所示， 以 O 为坐OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直 区的面积最大？ 解：

角坐标系标原点， xOy. 由条件知 A（0, 60）,

C（170， 0）， 直线 BC 的斜率

4

3 所以 kAB＝3

. 又因为 AB⊥BC,

4

设点 B 的坐标（a，b），

b－ 60 3 －4 ，

3 kAB＝ ＝ ， 则 kBC＝＝

AB为 a－170 a－ 0 4

解得 a＝ 80, b＝120，

所以 BC＝ （170－80）2＋（ 0－120）2＝150. 因此新桥 BC 的长是 150 m.

（2）设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM＝d m （0 ≤ d≤ 60）．

4

4

由条件知， 直线 BC 的方程为 y＝－ 3（x－ 170），

3

即 4x＋3y－ 680＝0.

由于圆 M 与直线 BC 相切， 故点 M（0, d）到直线 BC 的距离是 r， |3d －

680| 680－ 3d

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即 r＝

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42＋ 32

r－d≥80， r－（ 60－d）≥ 80，

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，所以

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680－

－ d≥ 80 ， 3d

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即

680 － 3d 60－ d)≥ 80

5

解得 10≤ d≤35.

680 3d最大，

即圆面积最大， 故当 d＝ 10 时， r

－

所以当 OM＝10 m 时，圆形保护区的面积最

大． 延长方法二： （1） 如图所示， OA, CB 交4 于点 F. 4 3

因为 tan∠ FCO＝ ，所以 sin∠ FCO＝ ， cos∠ 因为 OA ＝60，OC＝170，

所以 OF＝OC tan∠ FCO ＝， CF＝ ＝， 从而 AF＝OF－OA＝

33 3 cos∠ FCO

4

4

因为 OA ⊥OC, 所以 cos∠ AFB ＝sin∠FCO＝.又因为 AB⊥BC，

5

400

，

680

OC

850

500

.

所以 BF ＝AFcos∠AFB＝ 从而 BC＝CF－BF＝150.因此新桥 BC 的长是 150 m.

3，

（2）设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD ，则 MD ⊥ BC，且 MD 是圆 M 的 半径，并设 MD＝r m，OM＝d m （0≤d≤60）．

因为 OA ⊥OC, 所以 sin∠CFO＝cos∠ FCO.

MD3680－3d MD ＝所以 r＝ 故由 (1)知 sin∠ CFO＝ ＝5 OF－OM 680 MF ， 680

3－d

因为 O 和 A到圆 M 上任意一点的距离均不少于 ， 80 m

r － d ≥ 80 ， 所以

r －（ 60－d）≥ 即 80， 680－

3d

680－

－ d≥ 80， 3d

60－d）≥ 80，

680 － 3d r＝ 大，即圆面积最大， 解得 10≤ d≤35. 故当 d＝ 10 时，

最

所以当 OM＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大．

22

19、圆 x＋y＝4 的切线与 x轴正半轴、 y轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时，切点为 P（如图 1-5所示 ）． （1）求点 P 的坐标；

（2）焦点在 x轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：y＝x＋ 3 交于 A， B 两点，若△ PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程．

20．解： （1）设切点坐标为 （x0，y0）（x0>0，y0>0），

则切线斜率为－ y ，切线方程为 y－ y0＝－ y （x－ x0），即 x0x＋ y0y＝4， 此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为 x4 ，0 ， 0，y4 ，

x

x

其围成的三角形的面积 S＝· · ＝ .由 x0＋y0＝4≥2x0y0

2 x0 y0 x0y0

知当且仅当 x0＝y0＝ 2时 x0y0有最大值，即 S有最小值，因此点 P 为（ 2，

2）． 22

xy

（2）设 C的标准方程为 a2＋b2＝1（a>b>0），点 A（x1，y1），B（x2，y2）．由点 P在 C上

144822

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x2y2＋＝ ，2＋2＝1，

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y＝ x＋ 3， x1＋x2＝－4b23，

又 x1，x2 是方程的根，所以 由 y1＝x1＋ 3，y2＝x2＋ 3， 2 （1）求椭圆 C 的标准方程；

2

6－2b 直线 x＝－ 3上一点，过 F作 TF 的垂（2）设 O为坐标原点， T为x1x2＝ 2

得|AB|＝ 3

4

6

22

22

知a2＋b2＝1，并

ab 222

得 bx＋4 3x＋ 6－2b＝0.

b 24

48－24b＋8b

24

|x1－ x2|＝ 2· . 3 6即 b4－ 9b2＋ 18＝ b

0， 3 由点 P 到直线 22 x2y313

a＝ 6，所求 C的方程为 ＋ ＝l 的距离为 2及 S△PAB＝ 2× 2|AB|＝ 2，1. 2

解得 b＝6 或 63 6

2， 0得|AB |＝ 3，因此 b2＝ 6，a2＝F3（－（舍）或 ），离心率为 3.

20、已知椭圆

2

b＝ 3，

线交椭圆 于 P， Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面

c6

积． 20．解： （1）由已知可得， ＝ ，c＝2，所以 a＝ 6.

a3

22

又由 a2＝b2＋c2，得 b＝ 2，所以椭圆 C 的方程是 x6 ＋y2 ＝1.

m－0 ＝

＝－m.

（2）设 T点的坐标为 （－ 3， m），则直线 TF 的斜率 kTF－3－（－2）

1

当 m≠0时，直线 PQ 的斜率 kPQ＝ 1 ，直线 PQ的方程是 x＝my－2.

m

当 m＝ 0 时，直线 PQ 的方程是 x＝－ 2，也符合 x＝ my－ 2 的形式．

x＝my－2， 22

设 P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得 x y6＋

2＝1， 2222

消去 x，得 （m＋3）y－4my－2＝ 0，其判别式 Δ＝16m＋8（m＋3）>0.

－ 12 4m － 2

所以 y＋y＝，y＝， x＋x＝m（y＋y

12 2＋ 31y2 2＋31212）－4＝ 2＋3.

m ＋3 m ＋3 m ＋3 因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以 OP＝QT，即 （x1，y1）＝（－3－x2，m－y2）． －12

x1＋ x2＝ 2 ＝－ 3，

m ＋ 3

所以 解得 m＝ ±1. 4m

y1＋y2＝m2＋3＝m.

1

此时，四边形 OPTQ 的面积 S OPTQ＝ 2SOPQ ＝ 2× 2· |OF|·|y1－y2|

四边形

△

→→

＝2

4m － 2 4m－2＋ 3 －4·mm2＋3＝2 3.

2